Tabelão Alternativo (Cálculo Proposicional)

Sejam φ, χ e ψ símbolos para fórmulas bem formadas. (As fbfs em si não contém nenhuma letra grega, mas somente letras romanas maiúsculas, operadores conectivos, e parênteses.) Então, os axiomas são os seguintes:

Axiomas
Nome	Esquema Axiomático	Descrição
ENTÃO-1	φ → (χ → φ)	Adiciona a hipótese χ
ENTÃO-2	(φ → (χ → ψ)) → ((φ → χ) → (φ → ψ))	Distribui a hipótese φ
E-1	φ ∧ χ → φ	Eliminação da conjunção
E-2	φ ∧ χ → χ	Eliminação da conjunção 2
E-3	φ → (χ → (φ ∧ χ))	Introdução da conjunção
OU-1	φ → φ ∨ χ	Introdução da disjunção 2
OU-2	χ → φ ∨ χ	Introdução da disjunção
OU-3	(φ → ψ) → ((χ → ψ) → (φ ∨ χ → ψ))	Eliminação da disjunção
NÃO-1	(φ → χ) → ((φ → ¬χ) → ¬ φ)	Introdução da negação
NÃO-2	φ → (¬φ → χ)	Eliminação da negação
NÃO-3	φ ∨ ¬φ	Lei do terceiro excluído
SSE-1	(φ ↔ χ) → (φ → χ)	Eliminação da equivalência
SSE-2	(φ ↔ χ) → (χ → φ)	Eliminação da equivalência 2
SSE-3	(φ → χ) → ((χ → φ) → (φ ↔ χ))	Introdução da equivalência

- O axioma ENTÃO-2 pode ser considerado como sendo uma "propriedade distributiva da implicação com relação à implicação."

- Os axiomas E-1 e E-2 correspondem à "eliminação da conjunção". A relação entre E-1 e E-2 reflete a comutatividade do operador da conjunção.

- O axioma E-3 corresponde à "introdução da conjunção."

- Os axiomas OU-1 e OU-2 correspondem à "introdução da disjunção." A relação entre OU-1 e OU-2 reflete a comutatividade do operador da disjunção.

- O axioma NÃO-1 corresponde à "redução ao absurdo."

- O axioma NÃO-2 diz que "tudo pode ser deduzido a partir da contradição."

- O axioma NÃO-3 é chamado "tertium non datur" (Latin: "não há uma terceira opção") e reflete a valoração semântica da fórmula proposicional: uma fórmula pode ter um valor de verdade verdadeiro ou falso. Não há um terceiro valor de verdade, pelo menos não na lógica clássica.

Argumentos Falaciosos

Argumentos Falaciosos - um pequeno compêndio para evitar a compra de gatos por lebres

por Fredric Litto

Professor da ECA-USP (Rádio-Televisão e Comunicação)

desde 1971, coordenador científico da Escola do Futuro da USP

e presidente da Associação Brasileira de Educação a Distância (ABED)

Todo mundo sabe o que é uma mentira. Feita de uma pessoa para outra, ou para muitas outras, é uma afirmação cujos fatos enunciados não correspondem à verdade. Mentiras são maneiras de evitar uma possível punição ou de encobrir uma situação ridícula; pode ser também uma estratégia para não comprometer outras pessoas injustamente. Afinal, ninguém gosta de ser, ou merece ser, vítima de mentiras no que elas têm de condenável porque escondem a verdade. Por exemplo, houve uma época no Brasil, quando todos sabiam que se o governo federal anunciasse que não ia fazer alguma coisa, como criar um novo imposto, baixar uma nova lei de emergência.... isso infalivelmente seria feito, e dentro de pouco tempo. A vítima de uma mentira sempre está em desvantagem porque não sabe a verdade, não tem a informação correta para tomar uma decisão acertada, podendo ainda se sentir em dúvida, num ceticismo perturbador, até que a verdade se imponha. A vítima de uma mentira age sob a influência de um ardil verbal. Acredita naquilo que supõe ser verdadeiro quando não o é. Podemos ser vitimados também por um outro tipo de desvio de pensamento que é tão perigoso e enganador quanto a mentira: a falácia.

Enquanto a mentira é uma informação falsa, uma falácia é um argumento falso, ou uma falha num argumento, ou ainda, um argumento mal direcionado ou conduzido. A origem da palavra "falaz" remete à idéia do deceptivo, do fraudulento, do ardiloso, do enganador, do quimérico. Para entender bem isso, é preciso lembrar que quando pessoas esclarecidas

tentam convencer outras também esclarecidas a acreditar em suas afirmações, precisam usar argumentos, isto é, exemplos, evidências ou casos ilustrativos que confirmem a veracidade do enunciado. Como se vê, estamos falando de discursos, de enunciados, de declarações feitas com o fim de persuadir, levando alguém ou um grupo a acreditar numa coisa ou outra. Você acredita em tudo o que escuta ou lê? Claro que não. A diferença entre uma pessoa esclarecida e uma não- esclarecida é a maneira como ambas lidam com discursos: a primeira tem critérios para aceitar ou rejeitar argumentos; a segunda ainda não aprendeu os critérios para distinguir argumentos que carecem de fundamentação.

Note bem: não confunda mentiras com falácias. Mentiras são desvios ou erros propositais sobre fatos reais; falácias, por outro lado, são discursos, ou tentativas de persuadir o ouvinte ou leitor; promovendo um engano ou desvio, porque suas estruturas de apresentação de informação não respeitam uma lógica correta ou honesta, pois foram manipuladas certas evidências ou há insuficiência de prova concreta e convincente. Uma afirmação falaciosa pode ser composta de fatos verdadeiros, mas sua forma de apresentação conduz a conclusões erradas. Toda pessoa esclarecida, instada a elaborar argumentos, por força do trabalho que executa ou de situações cotidianas, deve reconhecer nos próprios argumentos o uso proposital do raciocínio falacioso (intenção de ludibriar) e a imperícia de raciocínio (lógica acidentalmente comprometida). De uma forma ou de outra, compra-se ou vende-se gato por lebre.

Uma vez sabendo identificar falácias,

você vai começar a vê-las por todo lado. Nos discursos de candidatos a cargos políticos, nas notícias de jornal (tanto impresso quanto televisivo), nas reuniões de condomínio, nas frases de vendedores (de imóveis, de carros e planos de saúde, de cartões de crédito). Há quem cometa falácias sem malícia, meramente como resultado de raciocínio apressado ou ingênuo. Mas é mais freqüente encontrar falácias em argumentos de pessoas ou instituições que querem enganar o ouvinte, querem convencê-lo a concordar com o enunciado (seja votar, comprar ou decidir, manipulando a vontade do interlocutor).

Para quem é professor, por exemplo, é mais importante levar seus alunos a entender como identificar falácias enunciadas por outros, e como não cometer uma falácia, do que ensinar uma grande quantidade de fatos a serem memorizados e logo esquecidos. Aquilo que o professor ensina aos seus alunos deveria ficar com eles até o fim dos seus dias, protegendo-os de políticos capciosos, vendedores oportunistas e de vizinhos intimidadores, desejosos de manipular o pensamento dos seus ouvintes, enganando-os com argumentos falsos ou desviados.

Assim, uma falácia não é apenas um erro; é um erro de um certo tipo, que resulta do raciocínio impróprio ou fraudulento. A falácia tem todo o aspecto de um argumento correto e válido, embora não o seja. Esse é seu grande perigo: parece correto, mas não é, além do que, leva a outros erros de pensamento, como conclusões erradas. Existem três grandes categorias de falácias: (A) aquelas baseadas em ''truques de palavras''; (B) aquelas que representam a perversão de métodos de argumentos legítimos, especialmente o indutivo; e (C) aquelas que representam argumentos extraviados ou desencaminhados.

Para cada tipo de falácia daremos o nome, uma definição e um ou mais exemplos. [O autor do artigo ficará feliz em receber de leitores sugestões de falácias aqui omitidas para serem acrescidas numa nova atualização].

A. Truques de Palavras
- 1. Equívoco
- 2. Conotação Contrabandeada
- 3. Eufemismo e Hipérbole
- 4. Ênfase Incorreta na Frase
- 5. Uso Incorreto de Etimologia
- 6. Acidente
- 7. Coisificação, ou Reificação

B. A Perversão de Métodos Legítimos de Argumentação
- 8. Depois do Fato, Portanto Devido a Ele
- 9. Números Grandes
- 10. Significância Ambígua
- 11. Citação Fora do Contexto, ou Contextualização
- 12. Falácias de Estatística
- 13. Composição
- 14. Divisão
- 15. Falácia Genética
- 16. A Ladeira Escorregadia

C. Argumentos Extraviados
- 17. Reivindicação à Perfeição, ou a Exigência de Perfeição
- 18. Circularidade, ou Evitando a Questão
- 19. Auto-Contradição
- 20. Non-sequitur, ou "Não Segue"
- 21. Generalização Precipitada
- 22. Generalização Desmedida
- 23. Argumentando a Partir da Ignorância
- 24. Jogo da Meia-Verdade
- 25. Falácia do "Homem de Palha"
- 26. Falácia de Bifurcação, ou de "Branco ou Preto"
- 27. Mudança do Ônus da Prova
- 28. Falácia das Premissas Escondidas
- 29. Estereótipos
- 30. Condenando a Fonte
- 31. Argumento ao Povo, ou Falácia do "Trio Elétrico"
- 32. Argumento de Autoridade ou de Antigüidade
- 33. Apelação ao Status Sócio-Econômico
- 34. Apelação à Pobreza
- 35. Argumento Dirigido às Emoções, ao Sentimento de Pena
- 36. Falácia da Conclusão Irrelevante
- 37. Falácia de "Dois Erros Fazem um Certo"
- 38. Apelação para Consideração Especial
- 39. Apelação pela Novidade
- 40. Apelação pela Repetição
- 41. Falácia da Redução ao Absurdo
- 42. Diversão
- 43. A Falácia Temática
- 44. Reducionismo Excessivo
- 45. Ameaça de Uso de Força

Fonte: uol.com.br/aprendiz/n_colunas/f_litto/

Quem Tem Medo De Matemática?

Pessoalmente, penso que o condicionamento de massas a respeito do “diabolismo” dos números, vai meio pela linha do “Saber é poder”. Controle da grana (a saber, a manha de investimentos metadiversos – lucro e crédito –, nas bolsas de valores e afins); fundamentos “contemporâneos” plausivelmente consistentes por alicerces “provisoriamente” duradouros – a “visão maior” em micro e macro-econômica; “segurança” e administração da própria liberdade: afinal, a liberdade não “é o bem que nos permite desfrutar dos outros bens”?, como diria o iluminista Barão de Montesquieu; ora, o dinheiro não é denominado ou sinônimo de “Capital”, por mero acaso...

Qual seria o pior... O brechtiano “analfabeto político” ou o “analfabeto matemático”? Como ser um, sem também não ser o outro?

Aritmética, álgebra, geometria, trigonometria, cálculo, análise, teoria, probabilidade, estatística, logaritmo, enfim... Calcular pode ser ruim, mas os produtos são notáveis... Penso, que, salvas circunscritas exceções, quem “domina os números”, ostenta de certo modo “poder”. Pelo menos, no que diz respeito ao nosso “Atual Mundo Ocidental”.

Como a máxima atribuída à autoria de Aristóteles, reitero: “As ciências têm raízes amargas, mas seus frutos são doces”. Hmm...ou não. Tudo é relativo, pronto. Vou pro bar.

Revista Exame – Capital Digital

Quem Tem Medo De Matemática?

Por Helio Gurovitz

Muita gente. O problema é que ela é cada vez mais necessária

Desde criança me impressiona como gente extremamente inteligente e sensível pode ter medo de matemática. A infeliz divisão curricular entre ciências, por assim dizer, humanas e exatas só reforça a fobia. Ninguém diz "tenho horror a frases", mas muita gente não tem a menor vergonha em confessar "não suporto contas". Muitos sentem orgulho da própria ignorância — "eu gosto é de pessoas, não de números", como se uma coisa pudesse ser comparada à outra. Em situações sociais, se alguém comete algum erro grosseiro de português, pega muito mal. Se comete uma barbaridade matemática, com certeza se safa numa boa. Fazemos força para erradicar o analfabetismo do Brasil, mas não gastamos um tostão nem um só segundo para combater — com o perdão do barbarismo — o analfabetismo em matemática (em inglês, criaram até uma palavra para identificar o problema: mnumeracy).

Milhões, bilhões, trilhões, que diferença faz? Faz muita. Pense que, se você gastasse 1 real por segundo, levaria onze dias e meio para torrar 1 milhão de reais, mas 32 anos para se livrar de 1 bilhão. Percebeu como faz diferença? Mas, mesmo entre executivos e empresários (para não falar em políticos e jornalistas), dimensões e grandezas não parecem estar na ordem do dia. Nem estatísticas, probabilidades, proporções ou percentuais. O problema é que a tecnologia está. E, normalmente, a dificuldade de quem não consegue lidar com o computador não está na máquina. Está no analfabetismo em matemática.

Um computador não passa de uma máquina de calcular muito vitaminada. Tudo num computador é traduzido por números. Absolutamente tudo. Chamar algo de digital quer dizer, precisamente, que esse algo pode ser "numerizável" (em francês, por sinal, a tradução para a palavra digital é numérique). Como, então, alguém pode lidar com a economia digital se tem fobia de números? Como pode entender que a era da informação, no fundo, é a era numérica, já que os bits não passam de números (zeros ou uns)?

Os mais pragmáticos podem objetar que não é preciso saber como funciona um editor de textos ou um programa de apresentação de slides para usá-los. É fato. Um dos grandes avanços no mundo dos computadores foi torná-los mais palatáveis às massas. Mas qualquer um concordará que é impossível usar a tecnologia da informação da melhor forma nas empresas sem dominá-la. Como medir, por exemplo, se um investimento em programas e equipamentos sai caro ou barato? É nesse ponto que o problema se torna mais insidioso. Pois as mesmas pessoas que admitem com orgulho a ignorância em matemática morrem de vergonha de dizer que se sentem intimidadas pelo computador e deixam as decisões mais simples a cargo dos especialistas.

Não há motivo para vergonha. O sistema educacional doutrinou a maioria para ver a matemática como algo monótono que não incentiva a criatividade e nada tem a ver com a humanidade tão necessária hoje para gerir corporações. Para ter idéia de como é falsa a suposta oposição entre atividades técnicas e humanas, basta lembrar que entre os maiores representantes das últimas estão matemáticos como René Descartes. Blaise Pascal, Gottfried Leibniz ou Bertrand Russell. Se você encarar a matemática apenas como o que ela é — mais uma linguagem ou uma outra língua estrangeira —, perceberá como ela instantaneamente desce do pedestal do inacessível. E, de quebra, verá como fica fácil tirar proveito do computador.

hgurovitz@abril.com.br

econ.puc-rio.br/gfranco/HGurowitz_matem.pdf

on.br/site_edu_dist_2006/pdf/modulo3/medo_de_matematica.pdf

Principais Formas de Lógica

Escrever uma história da lógica é tarefa que requer um alto grau de especialização em domínios diversos por implicar toda a história do pensamento humano em diversas áreas de conhecimento, o que torna impossível, em poucas linhas, traduzi-la em profundidade e, mesmo porque, não é objetivo da presente. No entanto, alguns aspectos fundamentais não podem deixar de ser retomados para fins de localização.

Segundo Blanché e Bochenski, resumidamente, pode-se dividir a lógica em três períodos ou fases principais, que caracterizam suas formas.

a.) Forma Clássica Antiga ou Lógica Grega Antiga

Período compreendido entre os séculos IV A.C. até o século I D.C. – Destaca-se nesse período o que se pode chamar de três grandes escolas: a dialética sofística, a lógica aristotélica e a lógica megárico-estóica. A dialética sofística “destrutiva” é

transformada em dialética construtiva por Platão, que tem o mérito de abrir o caminho para a sistematização aristotélica, que se opõe à escola megárico-estóica (esboço de uma lógica sentencial) e a relega a segundo plano até data bem recente.

Nesta forma, as proposições lógicas constam de palavras da linguagem corrente e sua base é o pensamento como expresso na linguagem natural, que fornece as leis e as regras formais.

Os principais nomes ligados à lógica megárico-estóica são: Crisipo, Diodoro Cronos; à aristotélica: Aristóteles e Teofrasto; e à dialética sofística: Zenão de Eléia, Sócrates, Protágoras.

b.) Forma Escolástica ou Medieval

Período criativo compreendido entre os séculos XI e XV D.C. Após a escola megárico-estóica, até o século XI, praticamente nada se faz em termos de novidade na lógica, pois simplesmente se repetiam os ensinamentos de Aristóteles, com melhoria de algumas técnicas para o ensino.

Foram os próprios medievais que estabeleceram uma periodização para a forma escolástica, que tem seu inicio com a Ars Vetus, representada por Abelardo (1079-1142). A preocupação central é o trabalho com as Categorias e a Interpretação de Aristóteles. Ao mesmo tempo trabalha-se, como problema novo, com as propriedades dos termos.

Em um segundo momento, a forma escolástica é caracterizada pela Ars Nova que tem como principais representantes Alberto Magno (1193-1280) e Tomás de Aquino (1227-1274). Trabalha-se, neste período, com a totalidade do Organon de Aristóteles. A lógica tem uma tarefa mais elevada a realizar, qual seja, fortalecer o ensino da ortodoxia católica.

O terceiro momento momento se dá com a lógica modernorum, representada por Guilherme de Ockham (1295-1350) e que se caracteriza pela elaboração de uma lógica formal e semiótica.

c.) Forma Matemática

Período que se inicia no século XVII. A época do Renascimento é marcada pelo interesse em descobrir novos métodos que auxiliem a pesquisa científica e considera que a lógica é estéril e acabada por Aristóteles desde sempre. A Matemática assume o posto de orientadora da pesquisa, dando fundamento para os novos métodos. A exceção é apresentada por Port Royal, que concebe a lógica como arte de pensar melhor e não como teoria, é uma disciplina prática.

É neste cenário que surge Leibniz (1646-1716), como pioneiro da que se pode chamar lógica matemática contemporânea. Movido pelo ideal de uma lingua característica universal e considerando que a silogística é capaz de assegurar a inefabilidade do raciocínio, reduzindo-o a forma, como o calculo algébrico, que é outra forma de raciocínio, Leibniz determina o marco divisor do que se classifica como lógica clássica aristotélica (que se estende de Aristóteles até o século XIX) e lógica simbólica moderna.

A primeira forma matemática da lógica é desenvolvida por Boole (1815-1864), que compara as leis do pensamento (lógica) às leis da álgebra. O passo seguinte no desenvolvimento da forma matemática é dado por Frege (1848-1925), que pretende mostrar que a aritmética poderia ser construída exclusivamente a partir das leis da lógica. Os estudos de Frege influenciaram os trabalhos de Bertrand Russell (1872-1970) e Whitehead (1861-1932), que, em Principia Mathematica, sistematizavam a lógica simbólica, servindo-se, para tanto, da simbologia de Peano (1858-1932), que conclui uma evoluação anterior e é, ao mesmo tempo, ponto de partida para a constituição do que se chama metalógica.

Fonte: Aprendendo Lógica - Kleverson & Bastos

Lógica?

Uma rápida pesquisa em diversos manuais de lógica e dicionários especializados pode levar o iniciante a confundir-se quanto ao conteúdo do que se classifica como lógica, dada a aparente diversidade de definições que poderá encontrar. Veja-se por exemplo:

- “A lógica formal é uma ciência que determina as formas corretas (ou válidas) de raciocínio.” – Joseph Dopp

- “Lógica é a ciência das formas do pensamento.” – L. Liard

- “Lógica é a linguagem que estrutura as linguagens descritivas.” – L. Hegenberg

- “Lógica é a ciência da argumentação, enquanto esta é a diretiva da operação de raciocinar.” – Gofredo Telles Jr.

- “Lógica é a arte que dirige o próprio ato da razão, isto é, que nos permite chegar com ordem, facilmente e sem erro, ao próprio ato da razão.” – Jacques Maritain

- “O estudo da lógica é o estudo dos métodos e princípios usados para distinguir o raciocínio correto do incorreto.” – I. Copi

Aparente diversidade porque estas definições exprimem, em última análise, um conteúdo em comum, ou seja, a lógica é a disciplina que trata das formas de pensamento, da linguagem descritiva do pensamento, das leis de argumentação e raciocínio corretos, dos métodos que regem o pensamento humano. Portanto, não se trata somente de uma arte, mas também de uma ciência.

É uma ciência porque possui um objeto definido: as formas de pensamento. Em função de seu objeto, seu desenvolvimento, pela abstração que implica, a descompromete com a utilidade ou realidade. Em outros termos, a princípio, a lógica não tem compromissos ideológicos. No entanto, sua história demonstra o poder que a mesma possui quando bem dominada e dirigida a um propósito determinado, como fizeram os sofistas, a escolástica, o pensamento científico ocidental e mais frequentemente a informática.

A sensação da inutilidade imediata, advinda do fato de operar com formas despidas de conteúdo, tornam seu estilo difícil e cansativo. No entanto, à medida que a lógica é assimilada, a sensação de inutilidade dá lugar a um mundo novo a ser explorado, o mundo da inteligência propriamente humana, em seus acertos e desacertos.

Ao considerar as formas de pensamento na sua origem, em abstrato, a lógica dá condições para que os conteúdos das diversas ciências sejam consistentes, entrelaçados, coerentes, tirando daí sua justificativa.

Fonte: Aprendendo Lógica - Kleverson & Bastos